A animação do personagem, quando parado, deve estar em ciclo. Assim, quando uma tecla é
pressionada para ele se movimentar, o jogo tem que esperar esse ciclo terminar para então
movimentar o personagem, o que causa esse delay. Se tu conseguisse fazer essa animação
dentro de uma rota de movimento (existe um script do Galv, Movement Route Extras, ou algo
assim que pode auxiliar nisso) e ao pressionar a tecla direcional romper essa rota, creio que
resolveria.
Quanto à ele não ter animação de movimento após a animação parado, tu deve ter desabilitado
a animação ao andar antes de executar a animação parado e esquecido de reabilitá-la.
Tudo baseado em deve, por não ter como eu testar o projeto que upou no momento.